Утверждать, что вы знаете математику, невозможно, если вы не умеете строить графики, изображать неравенства на координатной прямой, работать с осями координат. Визуальная составляющая в науке жизненно необходима, ведь без наглядных примеров в формулах и вычислениях порой можно сильно запутаться. В данной статье мы посмотрим, как работать с осями координат, и научимся строить простейшие графики функций.
Применение
Координатная прямая - это основа простейших видов графиков, с которыми сталкивается школьник на своем учебном пути. Она используется практически в каждой математической теме: при расчёте скорости и времени, проецировании размеров объектов и вычислении их площади, в тригонометрии при работе с синусами и косинусами.
Главная ценность такой прямой - это наглядность. Поскольку математика - это наука, в которой требуется высокий уровень абстрактности мышления, графики помогают в представлении объекта в реальном мире. Как он себя ведет? В какой точке пространства будет находиться через несколько секунд, минут, часов? Что можно сказать о нём в сопоставлении с другими объектами? Какой скоростью он обладает в случайно выбранный момент времени? Как охарактеризовать его движение?
А про скорость речь идёт неспроста - именно её зачастую отображают графики функции. А ещё они могут отображать изменение температуры или давления внутри объекта, его размеров, ориентации относительно горизонта. Таким образом, построить координатную прямую зачастую требуется и в физике.
Одномерный график
Существует понятие многомерности. В одномерном пространстве достаточно всего одного числа, чтобы определить местоположение точки. Это как раз и есть случай с применением координатной прямой. Если пространство двухмерное, то потребуется два числа. Графики такого типа используются гораздо чаще, и чуть дальше в статье мы их обязательно рассмотрим.
Что можно увидеть с помощью точек на оси, если она всего одна? Можно увидеть размер объекта, его положение в пространстве относительно некоторого «нуля», т. е. точки, выбранной в качестве начала отсчёта.
Изменение параметров с течением времени увидеть не удастся, так как все показания будут отображаться для одного конкретного момента. Однако с чего-то надо начинать! Итак, приступим.
Как построить координатную ось
Для начала требуется провести горизонтальную линию - это и будет наша ось. С правой стороны «заострим» её, чтобы она была похожа на стрелку. Таким образом мы обозначим направление, в котором числа будут увеличиваться. В сторону уменьшения стрелка обычно не ставится. Традиционно ось направлена вправо, поэтому мы просто последуем данному правилу.
Поставим нулевую отметку, которая будет отображать начало координат. Это то самое место, от которого ведется отсчёт, будь то размер, вес, скорость или что угодно другое. Кроме нуля, мы обязательно должны обозначить так называемую цену деления, т. е. ввести стандарт единицы, в соответствии с которой будем откладывать на оси те или иные величины. Это обязательно нужно делать, чтобы уметь находить длину отрезка на координатной прямой.
Через равное расстояние друг от друга поставим точки или «зарубки» на линии, а под ними напишем соответственно 1,2,3 и так далее. И вот, всё готово. Но с получившимся графиком надо ещё научиться работать.
Виды точек на координатной прямой
С первого взгляда на предложенные в учебниках рисунки становится понятно: точки на оси могут быть закрашенные или не закрашенные. Вы думаете, это случайность? Вовсе нет! «Сплошная» точка используется при нестрогом неравенстве - том, которое читается как «больше или равно». Если же нужно строго ограничить интервал (например, «икс» может принимать значения от нуля до единицы, но не включает её), мы воспользуемся «полой» точкой, то есть, по сути, маленьким кружком на оси. Надо заметить, что ученики не очень любят строгие неравенства, потому что с ними сложнее работать.
В зависимости от того, какие точки вы используете на графике, будут называться и построенные интервалы. Если неравенство с двух сторон нестрогое, то мы получим отрезок. Если с одной стороны он окажется «открыт», то называться будет полуинтервалом. Наконец, если часть прямой ограничена с двух сторон полыми точками, она будет называться интервалом.
Плоскость
При построении двух прямых на координатной плоскости мы уже можем рассматривать графики функций. Скажем, горизонтальная линия будет осью времени, а вертикальная - расстоянием. И вот уже мы в состоянии определить, какое расстояние преодолеет объект через минуту или час пути. Таким образом, работа с плоскостью даёт возможность следить за изменением состояния объекта. Это гораздо интереснее, чем исследование статичного состояния.
Простейший график на такой плоскости - прямая, она отражает функцию Y(X) = aX + b. Линия изгибается? Это означает, что объект меняет свои характеристики в процессе исследования.
Представьте, вы стоите на крыше здания и держите в вытянутой руке камень. Когда вы отпустите его, он полетит вниз, начав своё движение с нулевой скорости. Но уже через секунду он будет преодолевать 36 километров в час. Камень продолжит ускоряться и дальше, и чтобы нарисовать его движение на графике, вам потребуется замерить его скорость в несколько моментов времени, выставив точки на оси в соответствующих местах.
Отметки на горизонтальной координатной прямой по умолчанию получают название X1, X2,X3, а на вертикальной - Y1, Y2,Y3 соответственно. Проецируя их на плоскость и находя пересечения, мы находим фрагменты результирующего рисунка. Соединив их одной линией, мы получим график функции. В случае с падающим камнем квадратичная функция будет иметь вид: Y(X) = aX * X + bX + c.
Масштаб
Конечно, не обязательно выставлять рядом с делениями на прямой целочисленные значения. Если вы рассматриваете движение улитки, которая ползет со скоростью 0,03 метра в минуту, выставьте в качестве значений на координатной прямой дроби. В данном случае задайте цену деления как 0,01 метра.
Особенно удобно выполнять такие чертежи в тетради в клетку - здесь сразу видно, хватит ли места на листе для вашего графика, не выйдете ли вы за поля. Свои силы рассчитать несложно, ведь ширина клетки в такой тетради - 0,5 сантиметра. Понадобилось - уменьшили рисунок. От изменения масштаба графика он не потеряет и не изменит своих свойств.
Координаты точки и отрезка
Когда на уроке дается математическая задача, в ней могут содержаться параметры различных геометрических фигур как в виде длин сторон, периметра, площади, так и в виде координат. В этом случае может потребоваться как построить фигуру, так и получить какие-то данные, связанные с ней. Возникает вопрос: как найти на координатной прямой требуемую информацию? И как построить фигуру?
Например, речь идёт о точке. Тогда в условии задачи будет фигурировать заглавная буква, а в скобках будут стоять несколько цифр, чаще всего две (это значит, считать мы будем в двухмерном пространстве). Если в скобках три числа, записанные через точку с запятой или через запятую, то это трехмерное пространство. Каждое из значений - это координата на соответствующей оси: сначала по горизонтальной (X), затем - по вертикальной (Y).
Помните, как построить отрезок? Вы проходили это на геометрии. Если есть две точки, то между ними можно провести прямую. Их-то координаты и указываются в скобках, если в задаче фигурирует отрезок. Например: A(15, 13) - B(1, 4). Чтобы построить такую прямую, нужно на координатной плоскости найти и отметить точки, а затем их соединить. Вот и всё!
А любые многоугольники, как вы знаете, можно нарисовать с помощью отрезков. Задача решена.
Расчёты
Допустим, есть некоторый объект, положение которого по оси X характеризуется двумя числами: начинается он в точке с координатой (-3) и заканчивается в (+2). Если мы хотим узнать длину этого предмета, то должны вычесть из большего числа меньшее. Обратите внимание, что отрицательное число поглощает знак вычитания, потому что «минус на минус даёт плюс». Итак, мы складываем (2+3) и получаем 5. Это и есть требуемый результат.
Другой пример: нам дана конечная точка и длина объекта, но не дана начальная (и требуется её найти). Пусть положение известной точки будет (6), а размер изучаемого предмета - (4). Вычитая длину из конечной координаты, мы получим ответ. Итого: (6 - 4) = 2.
Отрицательные числа
Нередко требуется на практике работать с отрицательными значениями. В этом случае мы будем уходить по оси координат влево. Например, объект высотой 3 сантиметра плавает в воде. На треть он погружен в жидкость, на две трети находится на воздухе. Тогда, выбрав в качестве оси поверхность воды, мы с помощью простейших арифметических вычислений получаем два числа: верхняя точка объекта имеет координату (+2), а нижняя - (-1) сантиметр.
Нетрудно заметить, что в случае с плоскостью у нас образуется четыре четверти координатной прямой. Каждая из них имеет свой номер. В первой (верхней правой) части будут располагаться точки, имеющие две положительные координаты, во второй - слева сверху - значения по оси «икс» будут отрицательные, а по «игрек» - положительные. Третья и четвертая отсчитываются дальше против часовой стрелки.
Важное свойство
Вы знаете, что прямую можно представить как бесконечное множество точек. Мы можем просмотреть сколь угодно внимательно любое количество значений в каждую сторону оси, но не встретим повторяющихся. Это кажется наивным и понятным, но проистекает то утверждение из важного факта: каждому числу соответствует одна и только одна точка на координатной прямой.
Заключение
Помните, что любые оси, фигуры и по возможности графики необходимо строить по линейке. Единицы измерений были придуманы человеком не случайно - допустив погрешность при черчении, вы рискуете увидеть уже не то изображение, которое должно было получиться.
Будьте внимательны и аккуратны в построении графиков и вычислениях. Как и любая наука, изучаемая в школе, математика любит точность. Приложите немного старания, и хорошие оценки не заставят себя долго ждать.
§ 1 Система координат: определение и способ построения
В этом уроке познакомимся с понятиями «система координат», «координатная плоскость», «оси координат», научимся строить точки на плоскости по координатам.
Возьмем координатную прямую х с началом координат точкой О, положительным направлением и единичным отрезком.
Через начало координат точку О координатной прямой х проведем еще одну координатную прямую y, перпендикулярную х, положительное направление зададим вверх, единичный отрезок такой же. Таким образом, мы построили систему координат.
Дадим определение:
Две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом координат каждой из них, образуют систему координат.
§ 2 Координатная ось и координатная плоскость
Прямые, которые образуют систему координат, называют координатными осями, каждая из которых имеет свое название: координатная прямая х - ось абсцисс, координатная прямая y - ось ординат.
Плоскость, на которой выбрана система координат, называется координатной плоскостью.
Описанная система координат называется прямоугольной. Часто ее называют декартовой системой координат в честь французского философа и математика Рене Декарта.
Каждая точка координатной плоскости имеет две координаты, которые можно определить, опустив из точки перпендикуляры на оси координат. Координаты точки на плоскости - это пара чисел, из которых первое число - абсцисса, второе число - ордината. Абсциссу показывает перпендикуляр к оси х, ординату - перпендикуляр к оси y.
Отметим на координатной плоскости точку А, проведем из неё перпендикуляры к осям системы координат.
По перпендикуляру к оси абсцисс (ось х) определяем абсциссу точки А, она равна 4, ординату точки А - по перпендикуляру к оси ординат (ось у) - это 3. Координаты нашей точки 4 и 3. А (4;3). Таким образом, координаты можно найти для любой точки координатной плоскости.
§ 3 Построение точки на плоскости
А как построить точку на плоскости с заданными координатами, т.е. по координатам точки плоскости определить её положение? В данном случае действия выполняем в обратном порядке. На координатных осях находим точки соответствующие заданным координатам, через которые проводим прямые, перпендикулярные осям х и y. Точка пересечения перпендикуляров и будет искомой, т.е. точкой с заданными координатами.
Выполним задание: построить на координатной плоскости точку М (2;-3).
Для этого на оси абсцисс находим точку с координатой 2, проводим через данную точку прямую перпендикулярную оси х. На оси ординат найдем точку с координатой -3, через нее проведем прямую перпендикулярную оси y. Точка пересечения перпендикулярных прямых и будет заданной точкой М.
А теперь рассмотрим несколько частных случаев.
Отметим на координатной плоскости точки А (0; 2), В (0; -3), С (0; 4).
Абсциссы данных точек равны 0. На рисунке видно, что все точки находятся на оси ординат.
Следовательно, точки, абсциссы которых равны нулю, лежат на оси ординат.
Поменяем координаты данных точек местами.
Получится А (2;0), В (-3;0) С (4; 0). В этом случае все ординаты равны 0 и точки находятся на оси абсцисс.
Значит, точки, ординаты которых равны нулю, лежат на оси абсцисс.
Разберем еще два случая.
На координатной плоскости отметим точки М (3; 2), N (3; -1), Р (3; -4).
Легко заметить, что все абсциссы точек одинаковые. Если эти точки соединить, получится прямая, параллельная оси ординат и перпендикулярная оси абсцисс.
Напрашивается вывод: точки, имеющие одну и ту же абсциссу, лежат на одной прямой, которая параллельна оси ординат и перпендикулярна оси абсцисс.
Если поменять координаты точек М, N, Р местами, то получится М (2; 3), N (-1; 3), Р (-4; 3). Одинаковыми станут ординаты точек. В данном случае, если эти точки соединить, получится прямая параллельная оси абсцисс и перпендикулярная оси ординат.
Таким образом, точки, имеющие одну и ту же ординату, лежат на одной прямой параллельной оси абсцисс и перпендикулярной оси ординат.
В этом уроке Вы познакомились с понятиями «система координат», «координатная плоскость», «оси координат - ось абсцисс и ось ординат». Узнали, как найти координаты точки на координатной плоскости и научились строить точки на плоскости по ее координатам.
Список использованной литературы:
- Математика. 6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича//автор-составитель Л.А. Топилина. – Мнемозина, 2009.
- Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013.
- Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др./по редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос.акад.наук, Рос.акад.образования. - М.: «Просвещение», 2010
- Справочник по математике - http://lyudmilanik.com.ua
- Справочник для учащихся в средней школе http://shkolo.ru
- Две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке О — начале отсчета, образуют прямоугольную систему координат , называемую также декартовой системой координат.
- Плоскость, на которой выбрана система координат, называется координатной плоскостью. Координатные прямые называются координатными осями . Горизонтальная — ось абсцисс (Ох), вертикальная — ось ординат (Оy).
- Координатные оси разбивают координатную плоскость на четыре части — четверти. Порядковые номера четвертей принято считать против часовой стрелки.
- Любая точка в координатной плоскости задается своими координатами - абсциссой и ординатой . Например, А(3; 4) . Читают: точка А с координатами 3 и 4. Здесь 3 — абсцисса, 4 — ордината.
I. Построение точки А(3; 4).
Абсцисса 3 показывает, что от начала отсчета — точки О нужно отложить вправо 3 единичных отрезка, а затем вверх отложим 4 единичных отрезка и поставим точку.
Это и есть точка А(3; 4).
Построение точки В(-2; 5).
От нуля отложим влево 2 единичных отрезка, а затем вверх 5 единичных отрезков.
Ставим точку В .
Обычно за единичный отрезок принимают 1 клетку .
II. В координатной плоскости xOy построить точки:
A (-3; 1); B (-1; -2);
C (-2: 4); D (2; 3);
F (6: 4); K (4; 0)
III. Определить координаты построенных точек: A, B, C, D, F, K.
А(-4; 3); В(-2; 0);
С(3; 4); D (6; 5);
F (0; -3); K (5; -2).
Разделы: Математика
Класс: 6
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Методы: словесные, наглядные, парные, самостоятельной работы, фронтального опроса, контроля и оценки
Оборудование: интерактивная доска,карточки для самостоятельной работы
Цель: закрепить навыки нахождения координат отмеченных точек и строить точки по заданным координатам.
Задачи урока:
Образовательные:
- обобщение знаний и умений учащихся по теме «Координатная плоскость»;
- промежуточный контроль знаний и умений учащихся.
Развивающие:
- развитие вычислительных навыков обучающихся;
- развитие логического мышления;
- развитие математически грамотной речи, кругозора учащихся;
- развитие умения самостоятельной работы.
Воспитательные :
- воспитание дисциплинированности при организации работы на уроке;
- воспитание аккуратности при выполнении построений.
Структура урока:
- Организационный момент.
- Проверка домашнего задания.
- Актуализация опорных знаний.
- Диагностика усвоения знаний и умений учащихся.
- Подведение итогов урока.
- Домашнее задание.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Сегодня мы с вами повторим то, что прошли в течение нескольких уроков. Вспомните, чем мы с вами занимались на уроках, какие темы изучали, что вас заинтересовало больше всего, что запомнилось, что осталось непонятным по теме «Координатная плоскость. Построение точки по ее координатам». Наша задача: повторить, обобщить, систематизировать знания теме «Координатная плоскость».
2. Проверка домашнего задания
А сейчас проверим, как вы выполнили домашнее задание. По заданным координатам вы должны были построить фигуру, соединяя, по мере построения, соседние точки друг с другом. В результате выполнения работы у вас должна была получиться фигура:
3. Актуализация опорных знаний
Задание «Разгадай кроссворд» поможет вспомнить основные понятия по теме «Координатная плоскость».
На экране интерактивной доски появляется кроссворд и учащимся предлагается решить его.
1. Две координатные прямые образуют координатную … (плоскость)
2. Координатные прямые - это координатные … (оси)
3. Какой угол образуется при пересечении координатных прямых? (прямой)
4. Как называется пара чисел, определяющих положение точки на плоскости? (координата)
5. Как называется первая координата? (абсцисса)
6. Как называется вторая координата? (ордината)
7. Как называется отрезок от 0 до 1? (единичный)
8. На сколько частей делится координатная плоскость координатными прямыми? (четыре)
4. Диагностика усвоения знаний и умений учащихся
На координатной плоскости отметьте точки:
А(-3; 0); В(2; -3); С(-4; 2); D(0; 4); E(1; 3); О(0; 0)
А теперь перейдем к построению фигуры с помощью точек на координатной плоскости.Даны координаты точек. Построить фигуру, соединяя, по мере построения, соседние точки друг с другом.
Самостоятельная работа.
(проверка методом взаимопроверки)
Вариант 1.
Глаз: (3; 5). |
Вариант 2.
Крыло: Глаз: |
|
|
5. Подведение итогов урока
Вопросы учащимся:
1) Что такое координатная плоскость?
2) Как называются координатные оси ОХ и ОУ?
3) Какой угол образуется при пересечении координатных прямых?
4) Как называется пара чисел, определяющих положение точки на плоскости?
5) Как называется первое число?
6) Как называется второе число?
6. Домашнее задание
- P(-1,5; 10),
- (-1,5; 11),
- (-2; 12),
- (-3; 12),
- (-3,5; 11),
- (-3,5; 10),
- (-5; 12),
- (-9; 14),
- (-14; 15),
- (-12; 10),
- (-10; 8),
- (-8; 7),
- (-4; 6),
- (-6; 6),
- (-9; 5),
- (-12; 3),
- (-14; 0),
- (-14; -2),
- (-12; -2),
- (-7; -1),
- (-3; 3),
- (-4; 1),
- (-3; 0),
- (-4; -1),
- (-2,5; -2),
- (-1; -1),
- (-2; 0),
- (-1; 1),
- (-2; 3),
- (2; -1),
- (7; -2),
- (9; -2),
- (9; 0),
- (7; 3),
- (4; 5),
- (1; 6),
- (-1; 6),
- (3; 7),
- (5; 8),
- (7; 10),
- (9; 15),
- (4; 14),
- (0; 12),
- (-1,5; 10).
- P (-3,5; 10),
- (-4; 6),
- (-3; 3),
- P (-1,5; 10),
- (-1; 6),
- (-2; 3).
- (-2; 11),
- (-3; 11)
