Обобщающий урок по теме:

«Интеграл и его применение».

Эпиграф: ««Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике».

Джордж Сантаяна.

Цели урока:

Общеобразовательные: закрепить, повторить и обобщить знания, полученные при изучении темы: «Интеграл и его применение», закрепить практические навыки вычисления определённого интеграла, рассмотреть практическое применение данной темы в физике, геометрии и в профессии «Экономика и бухгалтерский учёт», подготовиться к практической работе.

Развивающие: развивать способности к реализации возможностей и потенциала в креативной деятельности; выработка навыков принятия творческих решений.

Воспитательные: воспитывать интерес к предмету, ответственного отношения к делу, готовность к взаимопомощи.

Форма проведения урока: урок – проблемная конференция.

Тип урока: «Повторительно – обобщающий».

Оснащение урока: мультимедиапроектор, компьютеры, компьютерная программа «Вычисление определённого интеграла», калькуляторы, плакат «Таблица первообразных», папки «Учись учиться», тесты, карточки с практическими заданиями.

Межпредметные связи:

Физика : «Вычисление работы, производимой телом», «Вычисление пути, пройденного телом».

Геометрия: «Вычисление объёмов и площадей тел вращения».

Связь с профессией: задачи с экономическим содержанием.

План урока.

Орг. момент – 2 мин.

Проведение конференции – 40 мин.

а) Выступление историков;

б) Выступление математиков;

в) Выступление физиков;

г) Выступление бухгалтеров;

д) Выступление программистов.

Подведение итогов – 2 мин.

Домашнее задание – 1 мин.

Ход урока.

Вступительное слово учителя:

Сегодня у нас обобщающий урок по теме: «Интеграл и его применение».

Эпиграфом к этому уроку могут служить слова американского философа Джорджа Сантаяна: «Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике».

И сегодня на уроке мы ещё раз убедимся в справедливости этого высказывания.

Цель нашего урока не только обобщить знания, полученные при изучении этой темы, закрепить практические навыки вычисления определённого интеграла, но и расширить представления о практическом применении интеграла, показать значимость этой темы в других областях науки и в вашей профессии. И как окончательный итог изучения темы – практическая работа.

Тема эта очень обширная, но большинство вопросов мы с вами уже рассмотрели на предыдущих уроках, мы проводим урок в виде «проблемной конференции».

На конференции обычно приглашаются специалисты, занимающиеся разработкой смежных тем.

В нашей конференции принимают участие несколько специалистов:

* историки;

* математики;

* экономисты;

*программисты.

Это студенты вашей группы, которые получили домашнее задание – собрать, систематизировать материал по конкретному вопросу, может быть найти дополнительный материал, который мы не изучали.

На нашем уроке так же присутствует студентка 3-го курса по специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Беляева Анна. Она не только помогает продемонстрировать нам слайды на экране, но и приняла активное участие в работе нашей конференции в качестве специалиста-программиста.

В ходе нашей конференции все присутствующие могут задавать вопросы выступающим и принимать активное участие в её работе.

И так, начинаем работу конференции:

Слово имеет историк, который расскажет нам о возникновении интегрального исчисления. (см. приложение 1)

Вопрос учителя: В твоём выступлении прозвучало два подхода к определению определённого интеграла. Какой подход мы использовали для введения понятия определённого интеграла на уроках?

Так ли это мы поймём, прослушав выступление математика. (см приложение 2)

Слово учителя:

Прослушав это сообщение, каждый из вас освежил в памяти вес теоретический материал, который нам понадобится для успешного выполнения практической части нашей конференции.

У вас на столах лежат задания, которые вы должны выполнить в ходе нашей конференции. Вы можете выполнять их вместе с группой или самостоятельно.

Пример 1.

Вычислить интеграл

а) ∫ (6х 2 +4х-5) d х=(6·х 3 /3+4·х 2 /2-5х) =(2·3 3 +2·3 2 -5·3)-(2·1 3 +2·1 2 -5·1)=

=(54+18-15)-(2+2-5)=57+1=58

б) ∫ (cos 3х+ sin ½х) d х=(-⅓ sin 3х+2 cos ½х) =

π/2 π/2

=(-⅓ sin 3π+2 cos ½π)-(-⅓ sin 3π/2+2 cos ½π/2)=(-⅓·0+2·0)-(-⅓·(-1)+2·√2/2)

=0-(⅓+√2)=-⅓-√2.

Пример 2.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)у=-(х+2) 2 +3, у=0.

Решение:

Графиком функции у=-х 2 +9 является парабола, ветви которой направлены вниз, координаты вершины параболы (0;9).

Графиком функции у=0 является ось Ох.

Построим графики этих функций в одной системе координат.

3 0 3 х

Найдём координаты точек пересечения графиков функций, для этого решим уравнение:

-х 2 +9=0

-х 2 =-9

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим:

S = ∫(- х 2 +9) d х=(-х 3 /3+9х)=(-(3) 3 /3+9·3)-(-(-3) 3 /3+9·(-3)=

-3 -3

= 18-(-18)=36 (кв.ед)

Ответ: S =36 кв.ед.

Слово учителя:

Я надеюсь вы вспомнили как вычисляется определённый интеграл. Сейчас я предлагаю проверить себя и ответить на вопросы теста.

После выполнения работы, студенты проверяют правильность выполнения теста, используя предлагаемые критерии оценки. (см. приложение 3)

Слово учителя:

Определённый интеграл широко применяется не только в математике, но и в физике, геометрии, химии. Об этом нам расскажет физик. (см. приложение 4)

Слово учителя:

Мы опять возвращаемся к практической части нашей конференции, я предлагаю вам решить задачи с физическим содержанием.

Задача 1.

Сила упругости пружины, растянутой 5 см , равна 3 Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 5 см?

По закону Гука сила F, растягивающая пружину на величину х, вычисляется по формуле F=kx, где k – постоянный коэффициент пропорциональности. На рис а) точка 0 соответствует свободному положению пружины. Из условия задачи следует, что 3=k·0,05. Следовательно, k=60 и сила F=60х, а по формуле находим:

0,05 0,05

А= ∫ 60х d х=30х 2 =30·0,05 2 -30·0 2 =0,075 Дж.

0 0

Ответ: А=0,075 Дж.

Задача 2.

Найти путь, пройденный материальной точкой за 10с от начала движения со скоростью v =0,1 t 3 м/с.

Решение: t 2

Т.к. t 1 =0 и t 2 =10, то подставив в формулу S = ∫ v ( t ) dt , получим

t1

S=∫0,1t 3 dt=0,1t 4 /4 =250м.

Ответ: S=250м.

Слово учителя:

Мы убедились с вами, в том, что интеграл имеет широкое применение в физике. А нельзя ли решать задачи с экономическим содержанием с помощью определённого интеграла? На этот вопрос ответит специалист по экономическим вопросам. (см. приложение 5)

Слово учителя:

И так, с помощью интеграла можно решать экономические задачи.

Задача.

Производительность труда рабочего в течении дня задаётся функцией f (t )=-0,00625 t 2 +0,05 t +0,5 (ден. ед/ч.) , где t – время в часах от начала работы,0≤ t ≤8. Найти функцию Q (t ), выражающую объём продукции (в стоимостном выражении) и его величину за рабочий день.

Применяя формулу, получим:

Q = ∫ (-0,00625 t 2 +0,05 t +0,5) dt =-0,00625 t 3 /3+0,05 t 2 /2+0,5 t =

=(-0,00625·8 3 /3+0,05·8 2 /2+0,5·8)-(-0,00625·0 3 /3+0,05·0 2 /2+0,5·0)=

=-3,2/3+1,6+4≈4,53(ден.ед)

Ответ: Q≈4,53 ден.ед.

Слово учителя:

Мы убедились в истинности высказывания Джорджа Сантаяна. Действительно, многие науки и профессии стремятся к математики. Но всё же нам приходится выполнять иногда достаточно сложные вычисления. Можно ли решить эту задачу?

Наверное – да. В век компьютерных технологий и эту задачу можно успешно решить. Слово программисту - Беляевой Анне.

Выступление программиста:

Я составила компьютерную программу: «Вычисление определённого интеграла». Эта программа позволяет за считанные секунды вычислить значение интеграла и экономит наше время.

(демонстрация программы см. приложение 6)

Слово учителя:

Первая подгруппа занимает места у компьютеров, а вторая – остаётся на местах. Решая одну и туже задачу, мы убедимся в преимуществе компьютерной программы.

(студенты решают задачу, используя компьютерную программу)

Подведём итоги урока - мы обобщили знания, полученные при изучении этой темы, закрепили практические навыки вычисления определённого интеграла, расширили представления о практическом применении интеграла, показали значимость этой темы в других областях науки и в вашей профессии. Увидели плюсы применения компьютерных технологий при решении математических задач, и, надеюсь, подготовились к практической работе.

Задачи, которые остались нерешёнными, необходимо решить дома.

Выставление оценок.

Приложение 1.

Выступление историка:

Я попыталась собрать историческую информацию о возникновении интегрального исчисления. Для этого я обратились к изучению жизни и творчества таких учёных как Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Бернулли, Чебышев. Каждый из них сыграл определённую роль в деле развития интегрального исчисления.

Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками древней Греции, Евклидом и Архимедом.

Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений основываются на идеях, сформулированных в начале XVII века великим математиком и астрономом Иоганном Кеплером.

В ноябре 1613 года королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплер, готовясь к свадьбе, приобрёл несколько бочек виноградного вина. При покупке Кеплер был поражён тем, что продавец определял вместимость бочки, производя одно единственное действие - измеряя расстояние от наливного отверстия до самой дальней от него точки днища. Ведь такое измерение совершенно не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интереснейшая математическая задача - по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки. Размышляя над этой задачей, он нашёл формулы не только для объёма бочек, но и для объёма самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. Для каждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые, зачастую очень хитроумные методы, что было крайне неудобно. Попытка найти общие, а главное, простые методы решения подобных задач и привела к возникновению современного интегрального исчисления. Но это уже была заслуга совсем другого математика.

В 1665-1667 годах Ньютон начал работать над созда­нием математического аппарата, с помощью ко­торого можно было бы исследовать и выражать законы физики. Ньютон первый построил дифференциаль­ное и интегральное исчисления (он назвал его методом флюксий). Это сразу позволило решать самые разнообразные, математические и физические задачи. До Ньютона многие функ­ции определялись только геометрически, так что к ним невозможно было применять алгебру и новое исчисление флюксий. Ньютон нашел новый общий метод аналитического представ­ления функции - он ввел в математику и на­чал систематически применять бесконечные ряды.

Примером такого ряда может служить известная нам геометрическая прогрессия.

Одновременно с Ньютоном к аналогичным идеям пришёл другой выдающийся учёный - Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Однако, в подходе Ньютона-Лейбница крылось серьёзное противоречие.

Поясним сказанное одним примером.

Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла.

Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции:

где F ` (x)=f(x) .

Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.

Истолкование обычного определенного интеграла по Лейбницу опиралось на понятие о бесконечно малых, от которого математики XVIII века хотели освободить математический анализ. Это также способствовало укреплению точки зрения Ньютона.

Дальнейшее развитие теории дифференциального исчисления получило в работах Леонарда Эйлера.

Работы Эйлера "Введение в анализ бесконечно малых", "Основания дифференциального исчисления" и "Основания интегрального исчисления" были первыми трактатами, в которых уже обширный, но разрозненный материал нового анализа, был объединен в цельную науку. В них был выработан тот скелет современного анализа, который сохранился и до нашего времени.

Хочется назвать ещё одно имя: Иоганн Бернулли.

Роль Иоганна Бернулли, как одного из создателей, распро­странителей и, бесспорно, знатоков зарождавшегося тогда математического анализа, отражает современная термино­логия: название «интегральное исчисление» (от латинско­го integer - целый), ввел Иоганн Бернулли. Как известно, Лейбниц предпочитал называть интеграл «суммой». Это впослед­ствии породило знак интеграла ∫, который представляет собой вытянутую букву S- первую букву латинского сло­ва summa .

Приложение 2.

Выступление математика:

Как мы уже услышали из предыдущего выступления, то подход к понятию определённого интеграла был разный. Одной из главных задач интегрального исчисления является нахождение первообразной.

Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка

F ´(х)= f (х).

Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все её первообразные.

Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных)

Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

F (х)+С,

Где F (х) – одна из первообразных для функции f (х) на промежутке I , а С – произвольная постоянная.

Для нахождения первообразных мы использовали таблицу:

Функция f(х)	Первообразная F(х)

Так же существуют три правила нахождения первообразных:

Правило 1 . Если F f , а G – первообразная для g , то F + G есть первообразная для f + g .

Правило 2 . Если F есть первообразная для функции f , а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf .

Правило 3 . Если F (х) - есть первообразная для функции f (х), а k и b – постоянные, причём k ≠0, то 1/ k · F (k х+ b ) есть первообразная для f (k х+ b ).

Выражение F (х)+С называется неопределённым интегралом

∫ f (х) d х= F (х)+С

Понятие определённого интеграла связано с задачей вычисления площади криволинейной трапеции.

Фигуру, ограниченную графиком функции f (х), непрерывной и не меняющей знак на отрезке [а; b ], отрезком[а; b ] и прямыми х=а и х= b называют криволинейной трапецией .

а) у b) у

0 а b х 0 а b х

в) г)

a 0 b x

a 0 b х

Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяется следующая теорема:

Теорема: Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; b ]функция, а F – первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке[а; b ], т.е. S = F ( b )- F (а).

Для любой непрерывной на отрезке [а;b] функции f (не обязательно неотрицательной) S стремиться к некоторому числу. Это число называют интегралом функции f от а до b и обозначают:

b

∫ f (х) d х

а

a , b – пределы интегрирования (а – нижний предел, b – верхний предел);

f – подынтегральная функция;

х – переменная интегрирования;

∫ - знак интеграла.

b

∫ f (х) d х= F ( b )- F (а) – формула Ньютона-Лейбница .

а

Для удобства записи разность F ( b )- F (а) принято сокращённо обозначать

b

F (х)|

а

Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают в виде:

b b

∫f (х) d х= F (х)|

а а

Исходя из выше сказанного, площадь криволинейной трапеции вычисляют с помощью определённого интеграла, а для вычисления определённого интеграла необходимо уметь вычислять первообразную.

Приложение 3.

Тест.

Вариант 1.

Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство:__________________________________________________.

Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

4.

а) S=∫(х 2 -5)dх; б) S=∫(х 2 +11)dх; в) S=∫(5-х 2)dх.

5. Найдите истинные равенства.

Тест.

Вариант 2.

Запишите основное свойство первообразной.

Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Запишите с помощью интеграла площадь фигуры изображенной на рисунке:

4. С помощью какой формулы вычисляется площадь данной фигуры?

а) S=∫(-х 2 -5)dх; б) S=∫(-х 2 +3)dх; в) S=∫(5-х 2)dх.

5. Найдите истинные равенства.

а) ∫х 3 dх=3х

Ответы на вопросы теста.

Вариант 1.

∫f(х)dх=F(b)-F(а).

3. S=∫(-х 2 +4х)dх.

4. в) S=∫(5-х 2)dх.

Вариант 2.

3. S=∫(3х+3)dх.

4. б) S=∫(-х 2 +3)dх.

5. б) ∫хdх=2.

Критерий оценки выполнения теста:

за 5 правильно выполненных задания – оценка «5»

за 4 правильно выполненных задания – оценка «4»

за 3 правильно выполненных задания – оценка «3»

за 1-2 правильно выполненных задания – оценка не ставится, вам требуется дополнительная консультация.

Приложение 4.

Выступление физика.

Определённый интеграл широко применяется при решении физических задач. Например, для вычисления работы силы, пути, пройденного материальной точкой.

1. Работа переменной силы.

Работу А, произведённую переменной силойf (х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х=а до х=b, находят по формуле:

b

А= ∫ f (х) d х

а

Для нахождения силы, действующей на тело, применяют закон Гука: F=kх, где k – коэффициент пропорциональности.

2. Вычисление пути, пройденного материальной точкой.

Если точка движется по некоторой линии, и её скорость v=f(t) есть данная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени вычисляется по формуле:

t 2

S = ∫ v ( t ) dt

t 1

Определённый интеграл также применяется при:

вычислении объёмов тел вращения в геометрии;

нахождении центра масс в физике;

Приложение 5.

Выступление экономиста:

На уроках «Введение в специальность» мы познакомились с такими экономическими понятиями, как – производительность труда и объём выпускаемой продукции. Эти понятия раскрывают экономический смысл интеграла.

Если f (t ) – производительность труда в момент t , то

T

Q = ∫ f ( t ) dt

0

есть объём выпускаемой продукции за промежуток .

Приложение 7.

Практические задания.

Вычислить интеграл.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

а) у=х 2 +4; у=5;

б) 0,5х+2; у=-х+5.

3.Задачи с физическим содержанием.

Задача 1.

Скорость движения точки v =12 t -3 t 2 м/с . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки.

Задача 2.

Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 4 см, если для сжатия её на 1 см нужна сила 10 Н.

Задача 3.

Точка движется прямолинейно со скоростью v (t )=6 t 2 -4 t -1. Найдите закон дви- жения точки, если в момент времени t=1с координата точки была равна 4 м.

Задачи с экономическим содержанием.

Задача 1.

Производительность труда рабочего в течение дня задаётся формулой f (t )=0,00625 t 4 +0,05 t +0,5 ден. ед./ч., где t – время в часах от начала работы, т.е. 0≤t≤8. Найти функцию Q(t) – объём продукции и его величину за рабочий день.

Задача 2.

На складе запас некоторого товара равен 100 ед., а ежедневно поступающий товар выражается формулой f (t )=22-0,5 t +0,06 t 2 , где t- количество дней. Определить количество товара через 40 дней.

Задачи для решения на компьютере.

Задача 1.

Производительность труда рабочих в технической смене при выпуске штангенциркулей определяется формулой f (t )=2,53 t 2 , где t – рабочее время в часах. Вычислить объём выпускаемой продукции за 6 часов рабочего времени.

Задача 2.

Рост населения Воронежской области описывается функцией f (t )=35825 t 2 , где t – время в годах. Определить прирост населения через 15 лет.

И интегрального исчисления к решению физических задач» имеет своей целью изучение курса физики на основе математического анализа.

Данный курс углубляет материал курса алгебры и начал анализа в десятом и одиннадцатом классах и раскрывает возможности для практического закрепления материала по темам, входящим в школьный курс физики. Это темы «Механика», «Электростатика», «Термодинамика» в физике, и некоторые темы алгебре и начал анализа. В результате данный факультативный курс реализует межпредметную связь алгебры и математического анализа с физикой.

Цели факультативного курса.

1. Обучающие: провести практическое закрепление по темам «Механика», «Электростатика», «Термодинамика», проиллюстрировать реализацию межпредметной связи математического анализа с физикой.

2. Воспитывающие: создание условий для успешного профессионального самоопределения учащихся посредством решения трудных задач, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств, средствами углубленного изучения физики.

3. Развивающие: расширение кругозора учащихся, развитие математического мышления, формирование активного познавательного интереса к предмету, развитие профессиональных интересов учащихся, развитие навыков самостоятельной и исследовательской деятельности , развитие рефлексии учащихся (осознание своих склонностей и способностей, необходимыми для будущей профессиональной деятельности).

Примеры решения задач по физике посредствам математического аппарата.

Приложение дифференциального исчисления к решению некоторых задач механики.

1. Работа. Найдем работу, которую совершает заданная сила F при перемещении по отрезку оси х. Если сила F постоянна, то работа А равна произведению F на длину пути. Если сила меняется, то ее можно рассматривать как функцию от х: F = F (x ). Приращение работы А на отрезке [х, x + dx ] нельзя точно вычислить как произведение F (x ) dx , так как сила меняется, на этом отрезке. Однако при маленьких dx можно считать, что сила меняется незначительно и произведение представляет главную часть , т. е. является дифференциалом работы (dA = = F (x ) dx ). Таким образом, силу можно считать производной работы по перемещению.

2. Заряд. Пусть q - заряд, переносимый электрическим током через поперечное сечение проводника за время t . Если сила тока / постоянна, то за время dt ток перенесет заряд, равный Idt . При силе тока, изменяющейся со временем по закону / = /(/), произведение I (t ) dt дает главную часть приращения заряда на маленьком отрезке времени [t , t +- dt ], т.е.- является дифференциалом заряда: dq = I (t ) dt . Следовательно, сила тока является производной заряда по времени.

3. Масса тонкого стержня. Пусть имеется неоднородный тонкий стержень. Если ввести координаты так, как показано на рис. 130, то функция т= т(1) - масса куска стержня от точки О до точки /. Неоднородность стержня означает, что его линейная плотность не является постоянной, а зависит от положения точки / по некоторому закону р = р(/). Если на маленьком отрезке стержня предположить, что плотность постоянна и равна р(/), то произведение p(/)d/ дает дифференциал массы dm . Значит, линейная плотность - это производная массы по длине.

4. Теплота. Рассмотрим процесс нагревания какого-нибудь вещества и вычислим количество теплоты Q { T ), которое необходимо, чтобы нагреть 1 кг вещества от 0 °С до Т. Зависимость Q = Q (T ) очень сложна и определяется экспериментально. Если бы теплоемкость с данного вещества не зависела от температуры, то произведение cdT дало бы изменение количества теплоты. Считая на малом отрезке [T , T + dT ] теплоемкость постоянной, получаем дифференциал количества теплоты dQ = c (T ) dT . Поэтому теплоемкость - это производная теплоты по температуре.

5. Снова работа. Рассмотрим работу как функцию времени. Нам известна характеристика работы, определяющая ее скорость по времени, - это мощность. При работе с постоянной мощностью N работа за время dt равна Ndt . Это выражение представляет дифференциал работы, т.е. dA = N (t ) dt , и мощность выступает как производная работы по времени.

Все приведенные примеры были построены по одному и тому знакомыми нам из курса физики: работа, перемещение, сила; заряд, время, сила тока; масса, длина, линейная плотность; и т. д. Каждый раз одна из этих величин выступала как коэффициент пропорциональности между дифференциалами двумя других, т. е. каждый раз появлялось соотношение вида dy = k (x ) dx . На такое соотношение можно смотреть как на способ определения величины k (x ). Тогда k (x ) находится (или определяется) как производная у по х. Этот вывод мы и фиксировали в каждом примере. Возможна и обратная постановка вопроса: как найти зависимость у от х из заданного соотношения между их дифференциалами.

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики.

1.Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y = f (x ), a ≤ x ≤ b , и имеет плотность = (x ) , то статические моменты этой дуги Mx и My относительно координатных осей Ox и O y равны

https://pandia.ru/text/80/201/images/image004_89.gif" width="215" height="101 src=">а координаты центра масс и - по формулам где l - масса дуги, т. е.

2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах.

Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

Так как путь, пройденный телом со скоростью (t ) за отрезок времени , выражается интегралом то имеем:

Уравнение механического движения. Пусть материальная точка массы т движется под действием силы F по оси х. Обозначим t время ее движения, и - скорость, а - ускорение. Второй закон Ньютона, а m = F примет вид дифференциального уравнения, если записать ускорение, а как вторую производную: a = x ’’.

Интегральное исчисление возникло в связи с решением задач определения площадей и объёмов. За 2000 лет до н.э. жители Египта и Вавилона уже умели определять приближённо площадь круга и знали правило для вычисления объёма усечённой пирамиды. Теоретическое обоснование правил вычисления площадей и объёмов впервые появились у древних греков. Философ-материалист Демокрит в V веке до н.э. рассматривает тела, как состоящие из большого числа малых частиц. То есть конус представляет собой множество весьма тонких цилиндрических дисков разных радиусов. Огромную роль в истории интегрального исчисления сыграла задача о квадратуре круга (квадратура круга – построение квадрата, площадь которого равна площади данного круга) . Точную квадратуру нескольких криволинейных фигур нашёл Гиппократ (середина V века).

Первым известным методом для вычисления интеграла является метод исчерпания Евдокса (примерно 370 до н. э.). Он пытался найти площади и объемы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объем уже известен. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, использовался для расчета площадей парабол и приближенного расчета площади круга. В своем сочинении «Квадратура параболы» Архимед пользуется методом исчерпывания для вычисления площади сектора пара­болы. Т.е. Архимед впервые составляет суммы, которые в наше время называются интегральными суммами. Первые значимые попытки развития интеграционных методов Архимеда, увенчавшиеся успехом, были предприняты в XVII веке, когда, с одной стороны, были достигнуты значительные успехи в области алгебры, а с другой стороны – всё более интенсивно развивались экономика, техника, естествознание, а там требовались обширные и глубокие методы изучения и вычисления величин.

При вычислении площади криволинейной трапеции Ньютон и Лейбниц приходят к понятию первообразной (или примитивной) функции для данной производной функции f (х), где С могло быть любым. Та к называемая сегодня формула Ньютона-Лейбница позволяет сводить довольно сложное вычисление определенных интегралов, т.е. нахождение пределов интегральных сумм, к сравнительно простой операции отыскания первообразных. Лейбницу принадлежит символ дифференциала а п озже появился и символ интеграла Символ определённого интеграла ввёл Ж. Фурье, а термин «интеграл» (от латинского integer - целый) был предложен И. Бернулли.

Работы по исследованию основ дифференциального и интегрального исчислений начинаются в XIX веке трудами О. Коши и Б. Больцано. Тогда же в развитие интегрального исчисления внесли значительный вклад русские учёные-математики М.В. Остроградский, В.Я. Буняковский, В.Я. Чебышев. Это было время, когда современный математический анализ только создавался. Это была, пожалуй, единственная по своей интенсивности эпоха математического творчества, а Эйлер объединил обширный, но разрозненный материал нового анализа в цельную науку.

Со временем, человек приобретал все большую власть над природой, но мечта о полете к звездам оставалась все такой же несбыточной. Писатели-фантасты упоминали ракеты для осуществления космического полета. Однако эти ракеты были технически необоснованной мечтой. Честь открыть людям дорогу к звёздам выпала на долю нашего соотечественника К. Э. Циолковского. Над задачами по созданию искусственного спутника Земли, расчётов траектории выхода их на орбиту работала целая плеяда ученых, во главе с С.П. Королёвым.

Особенно интересны задачи, являющиеся прообразом задач на расчёты траекторий выхода космических аппаратов на заданную орбиту, на нахождение высоты и скорости подъёма или спуска тела и некоторые другие задачи с использованием интегрального исчисления.

Задача 1 . Скорость прямолинейного движения тела задана

уравнением . Найти уравнение пути S, если за время t = 2сек тело прошло 20м.

Решение : откудаИнтегрируем: откуда Используя данные найдём С = 4. Т.е. уравнение движения тела имеет вид .

При полете в космос, надо учесть все факторы окружающей нас среды, и чтобы попасть куда нужно, требуется рассчитать траекторию движения, используя исходные данные. Всё это нужно сделать перед тем, как совершится полёт. В 2016 году исполняется 55 лет со дня полёта на орбиту первого космонавта Юрия Алексеевича Гагарина. При расчётах приходилось решать и такие задачи.

Задача 2 . Необходимо запустить ракету весом Р = 2·10 4 Н(Т) с поверхности Земли на высоту h = 1500 км. Вычислить работу необходимую для её запуска.

Решение. f – сила притяжения тела Землёй есть функция от его расстояния х до центра Земли: , где На поверхности Земли где сила притяжения равна весу тела Р , а х = R - радиус Земли, поэтомуи При подъёме ракеты с поверхности Земли на высоту h переменная х изменяется от x = R до x = R + h . Искомую работу находим по формуле: Тогда получаем: работа для запуска ракеты равна

Задача 3 . Сила в 10 Н растягивает пружину на 2 см . Какую работу она

совершает при этом?

Решение . По закону Гука, сила F , растягивающая пружину, пропорциональна растяжению пружины, т.е. F = кх. Из условия задачи

к= 10/0,02(Н/м), то F = 500х . Работа: .

Задача 4 . Из шахты глубиной l = 100 м надо поднять равномерно клеть весом Р 1 = 10 4 Н , которая висит на канате, намотанном на барабан. Вычислить полную работу А полн , необходимую для поднятия клети, если вес одного погонного метра каната Р 2 = 20 Н .

Решение . Работа по поднятию клети: а по поднятию каната пропорциональна весу каната, т.е. Следовательно, полная работа полна:

Задача 5 . Рессора прогибается под действием силы 1,5·10 4 Н на 1см. Какую работу надо затратить для деформации рессоры на 3 см? (Деформирующая сила пропорциональна прогибу рессоры.)

Решение . F =кх, где х - прогиб рессоры. При х = 0,01м имеем: . Тогда работа для деформации равна:

Сложен и небезопасен подъём в космическое пространство, но не менее трудностей таит возвращение на Землю, когда аппарат космического корабля должен приземлиться со скоростью не более 2 м/с. Только в этом случае аппарат, приборы в нём, а главное, члены экипажа, не испытают резкого жёсткого удара. Константин Эдуардович Циолковский решил использовать торможение космического корабля воздушной оболочкой Земли. Двигаясь со скоростью 8 м/с, космический аппарат не падает на Землю. Первая стадия спуска - включение на короткое время тормозного двигателя. Скорость уменьшается на 0,2 км/с, и сразу начинается спуск. Рассмотрим пример решения задачи на составление закона движения при заданных условиях.

Задача 6 . Найти закон движения свободно падающего тела при постоянном ускорении g, если в момент движения тело находилось в покое.

Решение: Известно, что ускорение прямолинейно движущегося тела есть вторая производная пути S по времени t , или производная от скорости по времени t : , но , следовательно, , откуда . Интегрируем: , и Из условия: , откуда найдём и скорость движения: . Найдём закон движения тела: , или . Интегрируем: , . По начальным условиям: , откуда найдём Имеем уравнение движения падающего тела: - это знакомая формула физики .

Задача 7 . Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью

Найти уравнение движения этого тела (сопротивлением воздуха пренебречь).

Решение: Примем: направление по вертикали вверх - за положительное, а ускорение силы тяжести, как направленное вниз, - за отрицательное. Имеем: , откуда . Интегрируем: то . Т.к. и то С 1: и Уравнение скорости: Находим закон движения тела: т.к. и тогда откуда .Интегрируем: или При и найдём , и Имеем уравнение движения тела: или .

Следующий пример показывает расчет траектории сброса отработанных секций, ненужных приборов, материалов. В этом случае их отправляют на Землю, рассчитав орбиту так, чтобы при прохождении через атмосферные слои они сгорели, а несгоревшие остатки упали на Землю (чаще всего - в океан), не причинив при этом вред.

Задача 8 . Составить уравнение кривой, проходящей через точку М (2; -3) и имеющую касательную с угловым коэффициентом .

Решение: В условии задачи дано: или Интегрируя, имеем: При х = 2 и у = -3, С = - 5 , а траектория движения имеет вид: .

Строителям иногда приходится решать задачи по вычислению площадей необычных фигур, для которых нет общеизвестных формул. В этом случае снова выручают интегралы.

Задача 9 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и

Решение : Выполним построение чертежа (рис. 1), для чего решим систему уравнений. Найдём точки пересечения линий: А(-2;4 ) и В(4;16) . Искомая площадь представляет собой разность площадей с пределами интегрирования, а = х 1 = -2 и в = х 2 = 4. Тогда имеем площадь:

.

Космонавты и ученые, работая на орбитальной станции, для чистоты эксперимента решают и исследуют многие вопросы астрономии, физики, химии, медицины, биологии и т.д. Сопроводим следующую задачу литературным примером. В известном фантастическом романе Герберта Уэллса «Война миров» описывается нападение марсиан на планету Земля, которые решили расширить свои перенаселённые территории за счёт захвата наших, т.к. климатические условия Земли были подходящими. Начался захват территории и уничтожение землян, которые получили помощь оттуда, откуда совсем не ожидали. Наши «родные» бактерии, с которыми мы уже научились бороться, попав в организм марсиан с воздухом, пищей, водой, нашли в нём благоприятную среду для своего развития и размножения, быстренько адаптировались и, уничтожив марсиан, избавили Землю от захватчиков. Рассмотрим решение задачи, дающей понятие об этом.

Задача 10. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени t. Количество бактерий утроилось в течение 5ч. Найти зависимость количества бактерий от времени.

Решение: Пусть x (t ) есть количество бактерий в момент времени t, а в начальный момент тогда скорость их размножения. По условию имеем: или след.: Найдём С: и функция Известно, чтот.е. или откуда коэффициент пропорциональности равен: а функция имеет вид: .

В знаменитом романе А.Н. Толстого «Гиперболоид инженера Гарина» хотелось бы почувствовать, ощутить, что же это такое – гиперболоид? Какие у него размеры, форма, поверхность, объём? Следующая задача – об этом.

Задача 11. Гипербола , ограниченная линиями: у = 0, х = a , х = 2а вращается вокруг оси ОХ. Найти объём полученного гиперболоида (рис.2).

Решение. Используем формулу для вычисления объёма тел вращения вокруг оси ОХ с помощью определённого интеграла:

Учёные-уфологи занимаются изучением фактов, которые приводят «очевидцы», рассказывая о том, что видели летящий космический корабль в виде огромного светящегося диска («тарелки»), примерно такой формы как на рисунке 3. Рассмотрим решение задачи по определению объёма такой «тарелки».

Задача 12 . Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ площади, ограниченной линиями у = х 2 - 9 и у = 0 .

Решение : При выполнении чертежа параболоида (рис.3) имеем пределы интегрирования от х = -3 до х = 3 . Заменим пределы интегрирования в силу симметричности фигуры относительно оси ОУ на х = 0 и х = 3 , а результат удвоим. Следовательно, объём диска равен:

Экономический смысл определённого интеграла выражает объём произведённой продукции при известной функции f (t ) - производительности труда в момент t . Тогда объём выпускаемой продукции за промежуток вычисляется по формуле Рассмотрим пример для предприятия.

Задача 13 . Найти объём продукции, произведённой за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид

Решение . Объём произведённой предприятием продукции равен:

Подводя итоги можно сделать вывод, что применение интеграла раскрывает большие возможности. При изучении геометрии рассматривают вычисление площадей плоских фигур ограниченных отрезками прямых (треугольников, параллелограммов, трапеций, многоугольников), и объёмов тел, полученных при их вращении. Определённый интеграл позволяет вычислять площади сложных фигур, ограниченных любыми кривыми линиями, а также находить объёмы тел, получаемых при вращении криволинейных трапеций вокруг любой оси.

Также хочется отметить, что применение определенного интеграла не ограничивается только вычислением различных геометрических величин, но используется и при решении задач из различных областей физики, аэродинамики, астрономии, химии и медицины, космонавтики, а также, экономических задач.

Список литературы :

1. Апанасов, П.Т. Сборник задач по математике: учеб. пособие/ П.Т. Апанасов, М.И. Орлов. - М.: Высшая школа, 1987.- 303 с.
2. Беденко, Н.К. Уроки по алгебре и началам анализа: методическое пособие/ Н.К. Беденко, Л.О. Денищева. - М.: Высшая школа, 1988. - 239 с.
3. Богомолов, Н.В. Практические занятия по высшей математике: учеб. пособие/ Н.В. Богомолов. - М.: Высшая школа, 1973.- 348 с.
4. Высшая математика для экономистов: учебник/ под ред. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.- 479 с.
5. Запорожец, Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу: учеб. пособие/ Г.И. Запорожец.- М.: Высшая школа, 1966. – 460 с.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Реферат на тему: «Интеграл и его применение»

Студентки

мед. колледжа

№2 203 группы

Куликовой Марии

Санкт - Петербург 2010 год

Введение

Символ интеграла введен с 1675 г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696 г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые-математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение.

История интегрального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга” круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Символ т введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summ a) Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина инте грал иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласил ись с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики-интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило бол ее раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F(x) = т f(x)dx - начальная (или первоначальная, или первообразная) для f (x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную b, называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т.е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольн иков стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(х), которым, тем не менее, приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(х)dx . В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571-1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

1609 г. и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на 6ecконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598-1647) и Э. Торричелли (1608-1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1, б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения

y = f(x) и y=f(x)+c.

Представляя фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, можем составить из них прямоугольник с основанием b-а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т.е.

S = S1 = c (b - а).

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 1, в). Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны.

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезны м при нахождении объемов.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = хn, где п - целое (т.е по существу вывел формулу т хndx = (1/n+1)хn+1), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т.п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В. Остроградский (1801-1862), В.Я. Буняковский (1804-1889), П.Л. Чебышев (1821-1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б. Римана (1826-1866), французского математика Г. Дарбу (1842-1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838-1922) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (188 4-1974), советским математиком А.Я. Хинчинчиным (1894-1959).

Определение и свойства интеграла

Если F(x) - одна из первообразных функции f(x) на промежутке J, то первообразная на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где CОR.

Определение. Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке J называется определенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается т f(x)dx.

т f(x)dx = F(x)+C,

где F(x) - некоторая первообразная на промежутке J.

f - подынтегральная функция, f(x) - подынтегральное выражение, x - переменная интегрирования, C - постоянная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла.

(т f(x)dx) ў = т f(x)dx,

т f(x)dx = F(x)+C, где F ў(x) = f(x)

(т f(x)dx) ў= (F(x)+C) ў= f(x)

т f ў(x)dx = f(x)+C - из определения.

т k f (x)dx = k т fў(x)dx

если k - постоянная и F ў(x)=f(x),

т k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C1)= k т fў(x)dx

т (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = т f(x)dx + т g(x)dx +...+ т h(x)dx

т (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = т dx = т ўdx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C= т f(x)dx + т g(x)dx +...+ т h(x)dx, где C=C1+C2+C3+...+Cn.

Интегрирование

Табличный способ.

Способ подстановки.

Если подынтегральная функция не является табличным интегралом, то возможно (не всегда) применить этот способ. Для этого надо:

разбить подынтегральную функцию на два множителя;

обозначить один из множителей новой переменной;

выразить второй множитель через новую переменную;

составить интеграл, найти его значение и выполнить обратную подстановку.

Примечание: за новую переменную лучше обозначить ту функцию, которая связана с оставшимся выражением.

1. т xЦ(3x2-1)dx;

Пусть 3x2-1=t (tі0), возьмем производную от обеих частей:

у dt 1 1 у 1 1 t 2 2 1 ---Ш

ф- t 2 = - ф t 2dt = - --- + C = -Ц 3x2-1 +C

т sin x cos 3x dx = т - t3dt = - - + C

Пусть cos x = t

Метод преобразования подынтегральной функции в сумму или разность:

т sin 3x cos x dx = 1/2 т (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x - ј cos 2x + C

у x4+3x2+1 у 1 1

ф dx = ф(x2+2 - ---) dx = - x2 + 2x - arctg x + C

х x2+1 х x2+1 3

Примечание: при решении этого примера хорошо делать многочлены ”углом”.

По частям. Если в заданном виде взять интеграл невозможно, а в то же время, очень легко находится первообразная одного множителя и производная другого, то можно использовать формулу.

(u(x)v(x))"=u"(x)v(x)+u(x)v(x)

u"(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v"(x)

т u"(x)v(x)dx=т (u(x)v(x))"dx - т u(x)v"(x)dx

т u"(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx - т u(x)v"(x)dx

т x cos (x) dx = т x dsin x = x sin x - т sin x dx = x sin x + cos x + C

Криволинейная трапеция

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.

Способы нахождения площади криволинейной трапеции

Теорема. Если f(x) непрерывная и неотрицательная функция на отрезке , то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразных.

Дано: f(x)- непрерывная неопр. функция, xО.

Доказать: S = F(b) - F(a), где F(x) - первообразная f(x).

Доказательство:

1) Рассмотрим вспомогательную функцию S(x). Каждому xО поставим в соответствие ту часть криволинейной трапеции, которая лежит левее прямой (рис. 2), проходящей через точку с этой абциссой и параллельно оси ординат.

Следовательно S(a)=0 и S(b)=Sтр

Докажем, что S(a) - первообразная f(x).

D(f) = D(S) =

S"(x0)= lim(S(x0+Dx) - S(x0) / Dx), при Dx®0 DS - прямоугольник

Dx®0 со сторонами Dx и f(x0)

S"(x0) = lim(Dx f(x0) /Dx) = lim f(x0)=f(x0): т.к. x0 точка, то S(x) -

Dx®0 Dx®0 первообразная f(x).

Следовательно по теореме об общем виде первообразной S(x)=F(x)+C.

Т.к. S(a)=0, то S(a) = F(a)+C

S = S(b)=F(b)+C = F(b)-F(a)

1). Разобьем отрезок на n равных частей. Шаг разбиения (рис. 3)

Dx=(b-a)/n. При этом Sтр=lim(f(x0)Dx+f(x1)Dx+...+f(xn))Dx=n®Ґ = lim Dx(f(x0)+f(x1)+...+f(xn))

При n®Ґ получим, что Sтр= Dx(f(x0)+f(x1)+...+f(xn))

Предел этой суммы называют определенным интегралом.

Сумма стоящая под пределом, называется интегральной суммой.

Определенный интеграл это предел интегральной суммы на отрезке при n®Ґ. Интегральная сумма получается как предел суммы произведений длины отрезка, полученного при разбиении области определения функции в какой либо точке этого интервала.

a - нижний предел интегрирования;

b - верхний.

Формула Ньютона-Лейбница.

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции делаем вывод:

если F - первообразная для b на , то

т f(x)dx = F(b)-F(a)

т f(x)dx = F(x) ф = F(b) - F(a)

Свойства определенного интеграла.

т f(x)dx = т f(z)dz

т f(x)dx = F(a) - F(a) = 0

т f(x)dx = - т f(x)dx

т f(x)dx = F(a) - F(b) т f(x)dx = F(b) - F(a) = - (F(a) - F(b))

Если a, b и c любые точки промежутка I, на котором непрерывная функция f(x) имеет первообразную, то

т f(x)dx = т f(x)dx + т f(x)dx

F(b) - F(a) = F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)

(это свойство аддитивности определенного интеграла)

Если l и m постоянные величины, то

т (lf(x) +m j(x))dx = l т f(x)dx + m тj(x))dx -

Это свойство линейности определенного интеграла.

т (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = т f(x)dx+ т g(x)dx+...+ т h(x)dx

т (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) - (F(a) + G(a) +...+ H(a)) +C = F(b)-F(a)+C1 +G(b)-G(a)+C2+...+H(b)-H(a)+Cn=b b b = т f(x)dx+ т g(x)dx+...+ т h(x)dx

Набор стандартных картинок (рис. 4, 5, 6, 7, 8)

Рис. 4 Рис. 5

Рис. 6 Рис. 7

Т.к. f(x)<0, то формулу Ньютона-Лейбница составить нельзя, теорема верна только для f(x)і0.

Надо: рассмотреть симметрию функции относительно оси OX. ABCD®A"B"CD b

S(ABCD)=S(A"B"CD) = т -f(x)dx

S= т f(x)dx = т g(x)dx

S = т (f(x)-g(x))dx+т(g(x)-f(x))dx

S= т (f(x)+m-g(x)-m)dx =

т (f(x)- g(x))dx

т ((f(x)-g(x))dx

S= т (f(x)+m-g(x)-m)dx =

Т (f(x)- g(x))dx

Если на отрезке f(x)іg(x), то площадь между этими графиками равна

т ((f(x)-g(x))dx

Функции f(x) и g(x) произвольные и неотрицательные

S=т f(x)dx - т g(x)dx = т (f(x)-g(x))dx

Применение интеграла

В физике.

Работа силы (A=FScosa, cosa № 1)

Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно

приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds, где ds - перемещение частицы за время dt. Величина

называется работой, совершаемой силой F.

Пусть точка движется по оси ОХ под действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f(x) (f-непрерывная функция). Под действием силы точка переместилась из точки S1(a) в S2(b). Разобьем отрезок на n отрезков, одинаковой длины Dx = (b - a)/n. Работа силы будет равна сумме работ силы на полученных отрезках. Т.к. f(x) -непрерывна, то при малом работа силы на этом отрезке равна f(a)(x1-a). Аналогично на втором отрезке f(x1)(x2-x1), на n-ом отрезке - f(xn-1)(b-xn-1). Следовательно работа на равна:

А » An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn-1)Dx= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn-1))

Приблизительное равенство переходит в точное при n®Ґ

А = lim [(b-a)/n] (f(a)+...+f(xn-1))= т f(x)dx (по определению)

Пусть пружина жесткости С и длины l сжата на половину свой длины. Определить величину потенциальной энергии Ер равна работе A, совершаемой силой -F(s) упругость пружины при её сжатии, то

Eп = A= - т (-F(s)) dx

Из курса механики известно, что F(s)= -Cs.

Отсюда находим

Еп= - т (-Cs)ds = CS2/2 | = C/2 l2/4

Ответ: Cl2/8.

Координаты центра масс

Центр масс - точка через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.

Пусть материальная однородная пластина о имеет форму криволинейной трапеции {x;y |aЈxЈb; 0ЈyЈf(x)} и функция y=f(x) непрерывна на , а площадь этойкриволинейной трапеции равна S, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:

x0 = (1/S) т x f(x) dx; y0 = (1/2S) т f 2(x) dx;

Центр масс.

Найти центр масс однородного полукруга радиуса R.

Изобразим полукруг в системе координат OXY (рис. 9).

Из соображений симметрии и однородности замечаем, что абсцисса точки M

Функция, описывающая полукруг имеет вид:

Пусть S = pR2/2 - площадь полукруга, тогда

y = (1/2S) тЦ(R2-x2)dx = (1/pR2) тЦ(R2-x2)dx = -R -R

R = (1/pR2)(R2x-x3/3)|= 4R/3p

Ответ: M(0; 4R/3p)

Путь, пройденный материальной точкой

Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью u=u(t) и за время T= t2-t1 (t2>t1) прошла путь S, то

В геометрии

Объём - количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1ди, 1м и т.д.).

Количество кубов единичного объёма размещенных в данном теле - объём тела.

Аксиомы объёма:

Объём - это неотрицательная величина.

Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих.

Найдем формулу для вычисления объёма (рис. 10):

выберем ось ОХ по направлению расположения этого тела;

определим границы расположения тела относительно ОХ;

введем вспомогательную функцию S(x) задающую следующее соответствие: каждому x из отрезка поставим в соответствие площадь сечения данной фигуры плоскостью, проходящей через заданную точку x перпендикулярно оси ОХ.

разобьем отрезок на n равных частей и через каждую точку разбиения проведём плоскость перпендикулярную оси ОХ, при этом наше тело разобьется на части. По аксиоме

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx

Dx®0, а Sk®Sk+1, а объем части, заключенной между двумя соседними плоскостями равна объему цилиндра Vц=SоснH.

Имеем сумму произведений значений функций в точках разбиения на шаг разбиения, т.е. интегральную сумму. По определению определенного интеграла, предел этой суммы при n®Ґ называется интегралом a

V= т S(x)dx, где S(x) - сечение плоскости, проходящей через

b выбранную точку перпендикулярно оси ОХ.

Для нахождения объема надо:

1). Выбрать удобным способом ось ОХ.

2). Определить границы расположения этого тела относительно оси.

3). Построить сечение данного тела плоскостью перпендикулярно оси ОХ и проходящей через соответственную точку.

4). Выразить через известные величины функцию, выражающую площадь данного сечения.

5). Составить интеграл.

6). Вычислив интеграл, найти объем.

Объем фигур вращения

Тело, полученное в результате вращения плоской фигуры, относительно какой-то оси, называют фигурой вращения.

Функция S(x) у фигуры вращения есть круг.

Sсеч(x)=p f 2(x)

Длина дуги плоской кривой

Пусть на отрезке функция y = f(x) имеет непрерывную производную y" = f "(x). В этом случае длину дуги l “куска” графика функции y = f(x), xО можно найти по формуле

l = т Ц(1+f"(x)2)dx

Список литературы

1. М.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд, “Алгебра и математический анализ”, Москва, 1993 г.

2. “Сборник задач по математическому анализу”, Москва, 1996 г.

3. И.В. Савельев, “Курс общей физики”, том 1, Москва, 1982 г.

4. Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referatovbank.ru/

Подобные документы

Идеи интегрального исчисления в работах древних математиков. Особенности метода исчерпывания. История нахождения формулы объема тора Кеплера. Теоретическое обоснование принципа интегрального исчисления (принцип Кавальери). Понятие определенного интеграла.

презентация , добавлен 05.07.2016


История интегрального исчисления. Определение и свойства двойного интеграла. Его геометрическая интерпретация, вычисление в декартовых и полярных координатах, сведение его к повторному. Применение в экономике и геометрии для вычисления объемов и площадей.

курсовая работа , добавлен 16.10.2013


Определение определенного интеграла, его свойства. Длина дуги кривой. Площадь криволинейной трапеции. Площадь поверхности вращения. Площади фигур, ограниченных графиками функций, ограниченных линиями, заданными уравнениями. Вычисление объемов тел.

контрольная работа , добавлен 10.02.2017


История появления понятия "интеграла" и интегрального исчисления, его особенности и значение. Интеграл как один из основных инструментов работы с функциями. Обоснование необходимости выражения всех физических явлений в виде математической формулы.

презентация , добавлен 19.05.2014


Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.

контрольная работа , добавлен 23.02.2011


Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов.

презентация , добавлен 15.01.2014


Решение задачи по нахождению площади криволинейной трапеции. Определение и свойства определённого интеграла. Необходимое условие интегрируемости и критерий Дарбу. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций. Доказательство формулы Ньютона-Лейбница.

контрольная работа , добавлен 25.03.2011


Вычисление площадей плоских фигур. Нахождение определенного интеграла функции. Определение площади под кривой, площади фигуры, заключенной между кривыми. Вычисление объемов тел вращения. Предел интегральной суммы функции. Определение объема цилиндра.

презентация , добавлен 18.09.2013


Понятие определённого интеграла, расчет площади, объёма тела и длины дуги, статического момента и центра тяжести кривой. Вычисление площади в случае прямоугольной криволинейной области. Применение криволинейного, поверхностного и тройного интегралов.

курсовая работа , добавлен 19.05.2011


История интегрального и дифференциального исчисления. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики. Моменты и центры масс плоских кривых, теорема Гульдена. Дифференциальные уравнения. Примеры решения задач в MatLab.

Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11 классе с расширенным изучением математики и физики

«Применение методов математического анализа при решении практических задач».

Учитель: Вишневская Н.В.

Цели урока: 1. Повторить основные типы задач, решаемые методами математического анализа.

2. Повторить алгоритмы решения.

3. Разобрать решение задач повышенной трудности.

4. Решить экономические задачи.

План проведения урока:

На доске разбираются две задачи повышенной трудности (карточки № 7 и № 5). Пока ребята готовятся, класс устно отвечает на вопросы:

а) Области, где применяются методы математического анализа;

б) алгоритм решения задач методом поиска наибольших и наименьших значений функции;

в) алгоритм решения задач с помощью определенного интеграла.

В это же время 6 человек работают по карточкам (№ 3, 4, 6, 8, 9, 10).

Заполняются таблицы.

Проверяются задачи на доске, учитель проверяет правильность решения задач по карточкам.

Разбирается на доске экономическая задача (карточка № 1, 2).

Домашняя контрольная работа.

Алгоритм решения задач методом поиска наибольших и наименьших значений функции.

Алгоритм вычисления геометрических и физических величин с помощью определенного интеграла.

Выражают искомую величину как значение в некоторой точке в функции F .

Находят производную f этой функции.

Выражают функцию F в виде определенного интеграла от f и вычисляют его.

Подставляя значение х = b находят искомую величину.

Домашние задачи (на доске):

Карточка № 7

Два корабля движутся по двум перпендикулярным прямым, пересекающимся в точке О , по направлению к О . В какой-то момент времени оба находятся в 65 км от О , скорость первого равна 15 км/ч, второго – 20 км/ч. От первого корабля отходит моторная лодка, движущаяся со скоростью 25 км/ч.

а) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго?

б) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго и вернуться обратно на первый корабль?

V 1 = 15 км/ч

65 км S 1 О

S 3 S 2

65 км

V л = 25 км/ч

V 2 = 20 км/ч

Решение:

х – время, которое прошло от того момента, когда оба корабля находились в 65 км от О , до момента отправления катера.

– время, которое необходимо катеру на путь от 1-го корабля до 2-го.

В момент отправления катера 1-й корабль был на расстоянии
км от О ; в момент прибытия катера на 2-ой корабль, расстояние между ним и О было равно км; путь катера равен
. Тогда по теореме Пифагора

.

Продифференцируем по х :

;

;

Ответ: а) 1 час; б) 3 часа.

Карточка № 5

Котел имеет форму параболоида вращения. Радиус его основания R = 3 м, глубина Н = 5 м. Котел наполнен жидкостью, удельный вес которой 0,8 Г/см 3 . Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.

у

А R В

dy Н

у

О х х

R = 3 м

Н = 5 м

уд. вес = 0,8 Г/см 3

Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.

Решение:

В плоскости сечения хОу АОВ – парабола, уравнение которой
. Найдем параметр а .

Координаты точки В должны удовлетворять этому уравнению, т.е.

,

, следовательно
.

Разделим параболоид на слои плоскостями, параллельными поверхности жидкости. Пусть толщина слоя на глубине (Н – у) равна dy . Тогда, принимая приближенно слой за цилиндр, получим его объем
.

Из уравнения параболы
, тогда
, т.е. вес слоя жидкости равен
.

Следовательно, чтобы выкачать жидкость с глубины
, потребуется затратить элементарную работу
,
. Тогда

, тогда .

Ответ:
.

Работа в классе.

Карточка № 6

Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила 1 кГ растягивает ее на 1 см?

Решение:

Согласно закону Гука сила F кГ, растягивающая пружину на х , равна
, k – коэффициент пропорциональности.

х = 0,01 м

F = 1 кГ

Тогда
, следовательно
.

Искомая работа
.

Ответ: 0,18 кГм.

Карточка № 8

Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила в 1 кг.

Решение:

По закону Гука
.

х = 0,01 м

F = 1 кГ

Тогда
, следовательно
.

Искомая работа
.

Ответ: 0,125 кГм.

Карточка № 9

Сила F , с которой электрический заряд отталкивает заряд (того же знака), находящийся от него на расстоянии r , выражается формулой

,

где k – постоянная.

Определить работу силы F при перемещении заряда из точки , отстоящей от на расстоянии , в точку , отстоящую от на расстоянии , полагая, что заряд помещен в точке , принятой за начало отсчета.

Решение:

Работа определяется по формуле
,
. Тогда

.

При
получим
.

Ответ:
.

Карточка № 3

Определить силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму полукруга радиуса R = 6 м, диаметр которого находится на поверхности воды.

Решение:

Сила давления жидкости на площадку площадью S при глубине погружения х равна
, – удельный вес жидкости.

О

х С

dх

А В

Полукруг параллельными прямыми разделим на полоски, которые примем за прямоугольник. Пусть заштрихованная полоска имеет длину АВ , ширину dx и находится на глубине х
.

Давление воды на полоску, находящуюся на глубине х , будет равно .

Отсюда

,

,

,

.

Удельный вес воды 1 см 3 = 1 Г, следовательно вес 1м 3 = 1000 кГ.

;

1 кГ 9,81 н

1 бар = 0,987 атм.

Ответ: 144000 кГ.

Карточка № 4

Скорость движения точки
м/сек. Найти путь s , пройденный точкой за время Т = 8 сек после начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот промежуток?

Решение:

, следовательно
,
,
.

Следовательно
.

.

Ответ: 512 м; 64 м/сек.

Карточка № 1 (решается в классе на доске)

Средние совокупные издержки производства мыла (в тыс. рублей на тонну) на Мухинском мыловаренном заводе изменяются в зависимости от объема годового выпуска Q (в тоннах) по закону:

.

Связь между годовым объемом продаж, равным величине годового выпуска Q , и ценой мыла Р (в тыс. рублей за тонну) описывается формулой

.

Реализовав по фиксированной цене все сваренное за год мыло, завод получил максимально возможную прибыль. Какова была при этом выручка предприятия?

Решение:

Выразим через Q сначала цену мыла из формулы
.

.

Тогда прибыль G можно выразить:

Найдем критические точки этой функции:

,
.

Критические точки 100, –340, –120.

Отрицательные корни не имеют экономического смысла.

Q

G

;

.

Значит оптимальный годовой объем мыла
т, тогда цена
(тыс. руб./т).

Тогда годовая выручка R составит: (тыс. руб.).

Ответ: 1 млн. руб.

Карточка № 10

Найти величину давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что его основание равно 8 м, высота 12 м, верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 5 м.

Решение:

5 м

8 м

х

dx 12 м

,
,
м.

кГм.

.

Ответ:
кГм.

Карточка № 2 (дополнительная)

Производственные мощности позволяют предприятию «Линотрон» выпускать не более 600 тонн ваты в год. Зависимость величины совокупных издержек (в тыс. рублей) от годового объема производства Q (в тоннах) имеет вид

.

Связь между годовым объемом продаж ваты, который совпадает с объемом годового производства, и ценой на вату Р (в тыс. рублей за тонну) описывается функцией

Цена на вату устанавливается 1 января 1995 года и пересматривается лишь 1 января следующего года.

Найдите с точностью до 1 % рентабельность производства по издержкам, если за 1995 год предприятие получит максимально возможную прибыль.

Решение:

Используя зависимости
и , выразим .

у у

a 0 b c x a 0 b c x